Analysis 2 by Herbert Amann, Joachim Escher

By Herbert Amann, Joachim Escher

Der zweite Band dieser Einf?hrung in die research behandelt die Integrationstheorie von Funktionen einer Variablen, die mehrdimensionale Differentialrechnung und die Theorie der Kurven und Kurvenintegrale. Der im ersten Band begonnene moderne und klare Aufbau wird konsequent fortgesetzt. Dadurch wird ein tragf?higes Fundament geschaffen, das es erlaubt, interessante Anwendungen zu behandeln, die zum Teil weit ?ber den in der ?blichen Lehrbuchliteratur behandelten Stoff hinausgehen.

Zahlreiche ?bungsaufgaben von unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad und viele informative Abbildungen runden dieses Lehrbuch ab.

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Bk 1 zn . k! (n + 1 − k)! Der Identit¨ atssatz f¨ ur Potenzreihen liefert deshalb n k=0 Bk 1 = k! (n + 1 − k)! 1, 0, n=0, n ∈ N× . Die Behauptung folgt nun durch Multiplikation dieser Identit¨at mit (n + 1)! (ii) Einerseits finden wir 1 1 e−z − 1 + ez − 1 + −z =z = −z . −1 e −1 1 − ez − e−z + 1 Andererseits gilt die Potenzreihenentwicklung f (z) − f (−z) = z ez ∞ f (z) − f (−z) = k=0 Bk k Bk z − (−z)k = 2 k! k! ∞ k=0 B2k+1 2k+1 z . (2k + 1)! Also erhalten wir aus dem Identit¨ atssatz f¨ ur Potenzreihen B2k+1 = 0 f¨ ur k ∈ N× .

Offensichtlich gilt g(0) = h(0). Es sei also z ∈ C× . Dann folgt g(z) = h(z) aus der Beziehung z · g(z) = ez − 1. (ii) F¨ ur z ∈ C\2πiZ gilt z z z ez + 1 z z + = = coth . 3) Somit erhalten wir die Behauptung wegen h(0) = 1. 4 Die Funktion f ist in einer Umgebung von 0 sogar analytisch, wie der n¨ achste Satz zeigt. 2 Satz Es gibt ein ρ ∈ (0, 2π) mit f ∈ C ω (ρB, C). 9 sichert die Existenz einer Potenzreihe bk X k mit positivem Konvergenzradius ρ0 und der Eigenschaft 1 Xk (k + 1)! bk X k = 1 ∈ C[[X]] .

4 Eigenschaften des Integrals Beweis 35 Es gelte f (x) > 0 f¨ ur alle x ∈ I. Aus der Kettenregel folgt dann4 (log |f |) = (log f ) = f /f . Im Fall f (x) < 0 f¨ ur x ∈ I gilt in analoger Weise ˆ ˜ (log |f |) = log(−f ) = (−f ) /(−f ) = f /f . Also ist log |f | eine Stammfunktion von f /f . Der Mittelwertsatz der Integralrechnung Wir beschließen diesen Paragraphen mit einem Mittelwertsatz f¨ ur das Integral reellwertiger stetiger Funktionen. 16 Satz Es seien f, ϕ ∈ C(I, R), und es gelte ϕ ≥ 0. Dann gibt es ein ξ ∈ I mit β β f (x)ϕ(x) dx = f (ξ) α ϕ(x) dx .

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