An Integral Equality and its Applications by Hille E.

By Hille E.

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Bk 1 zn . k! (n + 1 − k)! Der Identit¨ atssatz f¨ ur Potenzreihen liefert deshalb n k=0 Bk 1 = k! (n + 1 − k)! 1, 0, n=0, n ∈ N× . Die Behauptung folgt nun durch Multiplikation dieser Identit¨at mit (n + 1)! (ii) Einerseits finden wir 1 1 e−z − 1 + ez − 1 + −z =z = −z . −1 e −1 1 − ez − e−z + 1 Andererseits gilt die Potenzreihenentwicklung f (z) − f (−z) = z ez ∞ f (z) − f (−z) = k=0 Bk k Bk z − (−z)k = 2 k! k! ∞ k=0 B2k+1 2k+1 z . (2k + 1)! Also erhalten wir aus dem Identit¨ atssatz f¨ ur Potenzreihen B2k+1 = 0 f¨ ur k ∈ N× .

Offensichtlich gilt g(0) = h(0). Es sei also z ∈ C× . Dann folgt g(z) = h(z) aus der Beziehung z · g(z) = ez − 1. (ii) F¨ ur z ∈ C\2πiZ gilt z z z ez + 1 z z + = = coth . 3) Somit erhalten wir die Behauptung wegen h(0) = 1. 4 Die Funktion f ist in einer Umgebung von 0 sogar analytisch, wie der n¨ achste Satz zeigt. 2 Satz Es gibt ein ρ ∈ (0, 2π) mit f ∈ C ω (ρB, C). 9 sichert die Existenz einer Potenzreihe bk X k mit positivem Konvergenzradius ρ0 und der Eigenschaft 1 Xk (k + 1)! bk X k = 1 ∈ C[[X]] .

4 Eigenschaften des Integrals Beweis 35 Es gelte f (x) > 0 f¨ ur alle x ∈ I. Aus der Kettenregel folgt dann4 (log |f |) = (log f ) = f /f . Im Fall f (x) < 0 f¨ ur x ∈ I gilt in analoger Weise ˆ ˜ (log |f |) = log(−f ) = (−f ) /(−f ) = f /f . Also ist log |f | eine Stammfunktion von f /f . Der Mittelwertsatz der Integralrechnung Wir beschließen diesen Paragraphen mit einem Mittelwertsatz f¨ ur das Integral reellwertiger stetiger Funktionen. 16 Satz Es seien f, ϕ ∈ C(I, R), und es gelte ϕ ≥ 0. Dann gibt es ein ξ ∈ I mit β β f (x)ϕ(x) dx = f (ξ) α ϕ(x) dx .

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