Algèbre commutative [Lecture notes] by Antoine Chambert-Loir

By Antoine Chambert-Loir

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La composition des surjections canoniques A → A/I → (A/I)/(J/I) a pour noyau J. Il en résulte un isomorphisme canonique A/J (A/I)/(J/I). En résumé, un quotient d’un quotient est encore un quotient. Démonstration. — La composée de deux homomorphismes surjectifs étant encore surjectif, le morphisme A → (A/I)/(J/I) est surjectif. Un élément a ∈ A appartient au noyau si et seulement si cl(a) ∈ A/I appartient au noyau de l’homomorphisme A/I → (A/I)/(J/I), c’est-à-dire cl(a) ∈ (J/I). Comme J/I = cl(J), cela signifie que a ∈ cl−1 (cl(J)) = J puisque J contient I.

C’est aussi l’ensemble des sommes x∈X xax où (ax ) est une famille presque nulle d’éléments de A. On dit que 〈X 〉 est le sous-module de M engendré par X . Démonstration. — Il existe des sous-modules de M qui contiennent X , par exemple M lui-même. Par suite, l’intersection 〈X 〉 de ces sous-modules est un sous-module de M et contient X . Par construction, 〈X 〉 est contenu dans tout sous-module de M qui contient X . C’est ainsi le plus petit d’entre eux. Si (ax )x est une famille presque nulle d’éléments de A, x∈X xax est une combinaison linéaire d’éléments de 〈X 〉, donc appartient à 〈X 〉.

Si T est une partie multiplicative de B, f −1 (T ) est une partie multiplicative de A. Lorsque le morphisme f est implicite, par exemple lorsque B est explictement une A-algèbre, on s’autorisera l’abus d’écriture S −1 B pour T −1 B. d) Si I est un idéal d’un anneau commutatif A, l’ensemble S = 1 + I des éléments a ∈ A tels que a − 1 ∈ I est une partie multiplicative. C’est l’image réciproque de la partie multiplicative {1} de A/I par la surjection canonique A → A/I. e) On dit qu’un idéal I d’un anneau commutatif A est un idéal premier si les propriétés équivalentes suivantes sont satisfaites : (i) il est distinct de A et la condition ab ∈ I entraîne que a ∈ I ou b ∈ I ; (ii) le complémentaire S = A \ I est une partie multiplicative non vide de A ; (iii) l’anneau quotient A/I est intègre.

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