15. Darstellungstheorie der Endlichen Gruppen by Hermann Boerner

By Hermann Boerner

H. W e y 1, The classical teams. Their invariants and representations. Princeton 1939. 2. Aufl. 1946. E. P. W i g er, n Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektren. Braunschweig 1931. (Neuausgabe: workforce concept and its program to the quantum mechanics of atomic spectra. New York/London 1959. ) 1. Vorbemerkung. Die folgenden Ausfuhrungen sind der Darstellungs theorie der endlichen Gruppen gewidmet; doch werden Definitionen und Sat ze, die nicht auf endliche Gruppen beschrl1nkt sind, allgemein formuliert. Das Hauptaugenmerk ist auf die Entwicklung seit dem Bericht von van der Waerden 1935 uber Gruppen von linearen Transformationen 1) gerichtet, dessen II. Teil den Darstellungen von Ringen und Gruppen gewidmet ist. Li teratur vor 1935 wird daher nur in besonderen Fl1llen angefuhrt. Zur neue ren Entwicklung der Darstellungstheorie unendlicher Gruppen siehe artwork. sixteen (Maak). Die Darstellungstheorie der Ringe und insbesondere der Algebren wird nur insoweit berUhrt, als die Gruppenringe methodisches Hilfsmittel der Theorie sind. Sie hat neuerdings in dem Buch von Curtis und Reiner eine moderne und uberaus grundliche Darstellung erfahren. Die physikali schen Anwendungen werden gar nicht berucksichtigt; dagegen sind im Ab schnitt D die wichtigsten Ergebnisse der reinen Gruppentheorie zusammen gestellt, die mit Hilfe der Darstellungstheorie erzielt worden sind. Im Ab schnitt E findet guy einige nah verwandte Theorien und die Verallgemeine rung auf Halbgruppen. In das Verzeichnis der Lehrbucher und Monographien sind die Bucher uber allgemeine Gruppentheorie, die einen Abschnitt Uber Darstellungen enthalten, nicht aufgenommen worden; denn das sind die meisten.

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London Ser. A. 24~ 555-591 (1954). M. Ibrahim, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2)3,50-55 (1952);Proc. Math. Phys. Soc. Egypt 5 (1954)no. 2,85-86. (2 plates)(1955); Proc. -Amer. Math. Soc. 7,199-202 (1956);Proc. Math. Phys. Soc. Egypt 22(1958), 137-142. (2 inserts) (1959): 178) D. E. L ittl ewo 0 d, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A. 239, 305-365 (1944); Proc. London Math. Soc. (3) 6, 251-266 (1956); Canad. J. Math. 10, 17-32 (1958). H. A:-Missiha, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 61 = Indag.

Todd 208) leitet für die Mathieu-Gruppen M 12 und M 24' deren Charaktere schon Frobenius angegeben hatte, Darstellungen durch Kollineationen h~r. Mit die~en Gruppen beschllftigt sich auch Stanton 209). Bei Frame 210}, Edge 211} und Todd 212) werden die Charaktere für einige spezielle endliche Gruppen angegeben, die in der projektiven Geometrie eine Rolle spielen, und die Charakterentafel wird benutzt, um "große" Untergruppen dieser Gruppen aufzufinden, d. h. solche mit kleinem Index. Einige spezielle Gruppen behandelt auch Kawada 213).

15, 41 D 1(s) mit Matrixelementen aus Rund jj(s) = D 1(s), wo der_Querstri~h rechts die Restklassenbildung mod P bedeutet, eine Darstellung D(s) über K zugeordnet. K~nnen die gew~hnlichen Darstellungen nicht in R geschrieben werden, so betrachtet man den zur (additiven und durch II(P) = 1 normierten) P-adischen Bewertung von K geh~rigen Bewertungsring Rp der für P ganzen Zahlen. Da Rp Hauptidealring mit Quotientenk~rper K ist, k~nnen nach einem bekannten Satz die gew~hnlichen Darstellungen immer in R p ge~chrie­ ben werden.

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